Correzione compito in classe

classe IV, Novembre 2004

  1. Tre macchine automatiche L, M, N di uno stesso reparto in un'azienda meccanica producono uno stesso pezzo. Le macchine L ed M producono ciascuna 10 pezzi all'ora, con probabilità rispettivamente del 3% e 4% che il pezzo prodotto sia difettoso; N produce 7 pezzi all'ora con probabilità del 2% che il pezzo sia difettoso. Che probabilità c'è che in un’ora venga prodotto un pezzo difettoso in quel reparto? Che probabilità c'è che un pezzo difettoso prodotto in quel reparto provenga dalla macchina N?. 
    Indichiamo con 
E="un pezzo prodotto in una certa ora è difettoso"
L="un pezzo prodotto in una certa ora proviene dalla macchina L"
M="un pezzo prodotto in una certa ora proviene dalla macchina M"
N="un pezzo prodotto in una certa ora proviene dalla macchina N"
Allora, poiché E Í LÈ M È N  e LÇM=Ø LÇN=Ø MÇN=Ø
si ha
P(E)=p(E|L)·p(L)+p(E|M)·p(M)+p(E|N)·p(N)=
    = 3/100 · 10/27 + 4/100 · 10/27 + 2/100 · 7/27 =
    = 84/(100·27) = 28/900 @ 3%

Inoltre
P(N/E) = p(E|N)·p(N)/p(E) =
       = 2/100 · 7/27/(28/900) = 14·900/(100·27·28) 
       @ 17%
  2. Che probabilità c’è che una persona scelta a caso compia gli anni il 21 novembre? Che probabilità c’è che in una classe di 20 alunni almeno uno compia gli anni il 21 novembre? Che probabilità c’è che almeno due compiano gli anni il 21 novembre? Che probabilità c’è che esattamente la metà compia gli anni il 21 novembre? Che probabilità c’è che almeno due persone compiano gli anni uno stesso giorno dell'anno? 
    Naturalmente la risposta alla prima domanda è 1/365 (circa).
p("almeno uno compia gli anni il 21 novembre") = 
	= 1 - p("nessuno compia gli anni il 21 novembre") =
	= 1 - (364/365)20
p("almeno due compiano gli anni il 21 novembre") = 
	= 1 - ( p("nessuno compia gli anni il 21 novembre") + 
		+p("solo uno compie gli anni il 21 novembre") =
	= 1 - ((364/365)20 + 20·1/365·(364/365)19) )
p("dieci compiano gli anni il 21 novembre") = 
	= nCr(20,10)·(1/365)10·(364/365)10

p("almeno due compiano nello stesso giorno") =
	= 1 - p("tutti compiano gli anni in giorni diversi")
	= 1 - nCr(365,20)/36520

da non confondersi con
	1 - Õp("al massimo uno compia gli anni nel x° giorno  dell'anno")
	= 1 - ((364/365)20 + 20·1/365·(364/365)19))365
poiché l'evento complementare "almeno due compiano nello stesso giorno" è intersezione 
degli eventi
	"al massimo uno compia gli anni nel x° giorno  dell'anno" con x =1, 2, ..., 365;
che però non sono indipendenti
Non va neanche confuso con
	åp("almeno due compiano gli anni nel x° giorno  dell'anno")
	=365( 1 - ((364/365)20 + 20·1/365·(364/365)19))365)
poiché l'evento "almeno due compiano nello stesso giorno" non è unione disgiunta degli eventi
	"almeno due compiano gli anni nel nel x° giorno  dell'anno" con x =1, 2, ..., 365.
  3. Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha fuoco nell’origine del sistema di riferimento, direttrice x=1 ed eccentricità e=2. Disegnarla. In particolare individuare le coordinate del centro, quelle dei vertici e le equazioni degli asintoti. Considerati i punti dell’iperbole che hanno le stesse ascisse dei fuochi, determinare l’area del quadrilatero che ha per lati le quattro tangenti alla iperbole in questi punti. 
    La relazione 
	PF/dist(P,dir) = e
si scrive in questo caso
	x2 + y2 = 4·(x - 1)2
da cui
	3x2 - y2 -8x + 4 = 0
l'equazione di una iperbole che ha assi paralleli agli assi coordinati.
Con il metodo del completamento del quadrato, l'equazione diventa:





Perciò l'iperbole ha centro C(4/3,0)
e semiassi a=2/3, b=2Ö3/3.
Gli asintoti avranno equazioni
	y - 0 = ± Ö3·(x - 4/3).

Il metodo di sdoppiamento fornisce l'equazione l'equazione della tangente in (0,2)
	-2·y - 8(x/2) + 4 = 0
cioè
	y = -2x + 2.
Questa retta interseca l'asse x in A(1,0) e l'altro asse di simmetria 
dell'iperbole in B(4/3,-2/3).

Così l'area del quadrilatero è 4·area(ABC) = 4·1/2·(4/3 - 1)·2/3 = 4/9
  4. Si considerino le iperboli di equazione con k¹–1. Verificare che ci sono due punti per i quali passano tutte queste curve. Determinare l'equazione cartesiana del luogo geometrico dei centri di queste iperboli. Stabilire infine per quali valori del parametro a il punto P(a, 2a–1) appartiene alla regione di piano delimitata dalla iperbole che ha k=3, dal suo asintoto orizzontale e dall’asse y 
    Intersecare le curve con k=0 e k=2 significa risolvere il sistema



 
dal quale si ottiene x=0 o x=-2/3
Sostituendo nell'equazione parametrica in k
per x=0     si ha y=1/3 indipendentemente da k stesso
per x=-2/3  si ha y=1 indipendentemente da k stesso
quindi (0,1/3) e (-2/3,1) sono punti per i quali passano tutte queste curve.

I centri C(-3/(k+1), (k-2)/(k+1)) stanno sul luogo di equazioni parametriche




Eliminando il parametro k si ottiene l'equazione di una retta
		y = x + 1
dalla quale va però tolto il punto con con x=0, che non si ottiene per alcun valore di k.

Per k=3 l'equazione diventa



 
con asintoti x=-3/4 e y=1/4, passante per il punto (0,1/3) e quindi con grafico

Il punto P(a, 2a–1) appartiene alla regione di piano evidenziata quando soddisfa 
le condizioni seguenti

    




 

    
Si tratta anche dei punti del segmento della retta  y=2x-1, luogo dei punti P, 
che intersecano la figura evidenziata, per  
	5/8 < x < (3+Ö(137)/16
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione